جزوه آنالیز حقیقی رشته ریاضی کاربردی

جزوه آنالیز حقیقی رشته ریاضی کاربردی

جزوه  آنالیز حقیقی رشته ریاضی کاربردی

آنالیز حقیقی کتاب های خلاصه منابع رشته ریاضی کاربردی   

فهرست مطالب 
فصل اول: مفهوم اندازه پذیري
فصل دوم: اندازه هاي بورل مثبت.
فصل سوم: فضاهاي کلاسیک باناخ
فصل هفتم: فضاهاي متریک.

فصل اول: مفهوم اندازه پذیري
1.1 اندازهي لبگ روي خط حقیقی
تعریف 10101 فرض کنیم x یک مجموعهي دلخواه باشد. گردایهي M از زیرمجموعهي x را یک s- جبر در x
گوییم هرگاه:
 X ÎM (a)
آنگاه ، A ÎM اگر (b)
c
 A ÎM
{ } اگر (c) n n 1 A
¥
=
n گردایهي شمارایی از عناصر M باشد، آنگاه

 U ÎM
(اگر بهجاي گردایهي شمارا در شرط (c) فقط گردایهي متناهی مدنظر باشد، دراینصورت M را جبر در x گوییم.)
تذکر: (1)
c
 Æ = - x x x = ÎM
اگر (2) A1 2 n آنگاه ، ,A ,L,A ÎM
n
i 1 2 n
i 1
A A A A
=
 U = U ULU U Æ U Æ Î UL M
(3) اگر ( )
n
 آنگاه ، n = Î 1,2, A L M


واضح است که هر s- جبري یک جبر است و نه برعکس.
تمرین: جبري بسازید که s- جبر نباشد.
مثالها:
( ) (a) x
 .(X در جبر -s بزرگترین) 2 x = P
 .(X در جبر -s کوچکترین) M = Æ {X, } (b)
قضیه 20101 فرض کنیم F گردایهاي از زیرمجموعههاي X باشد. در اینصورت کوچکترین s- جبر (منحصر بفرد)
حاوي F وجود دارد. آنالیز حقیقی «7»
 
M یک s- جبر در X و حاوي F است
Fn است هر
بسته
On است هر
بسته
برهان.
 W = {M : }
*

*M به وضوح هر s- جبر حاوي F حاوي
*M یک است. کافی است نشان دهیم
s- جبر است. فرض کنیم

لذا .(n = Î 1,2, A L) n M آنگاه ،باشد دلخواه MÎW اگر. n = Î 1,2, A L M

. دو شرط دیگر s- جبر بودن به طریق مشابه ثابت میشود.
s-جبر بورل (مجموعههاي بورل)
تعریف 30101 فرض کنیم X یک فضاي توپولوژیکی باشد. کوچکترین s- جبر حاوي مجموعههاي باز را s- جبر
با بهاختصار B نمایش میدهند. ( s- جبر بورل، کوچکترین s- جبرحاوي Bx بورل در X مینامند و آن را به
مجموعههاي بسته است.)
تمرین: نشان دهید که عدد اصلی (کاردینالیتی) مجموعههاي بورل در ¡ ، c است.
تمرین: آیا s- جبر نامتناهی ولی شمارا وجود دارد؟
قرار میدهیم
é ù
= - Î ê ú ë û U F
æ ö
= ç ÷ - Î è ø I
همچنین قرار میدهیم «8» مجموعه ریاضی
یک بازه در
= F F sd s گردایه اشتراك

اندازه ي لبگ بر خط حقیقی
تعریف 60101 زیرمجموعهي E از خط حقیقی را لبگ- اندازهپیر گوییم هرگاه بهازاي هر مجموعهي A داشته باشیم
* * * c c m A = m (A E) + m (A E ) (E = E = - E) I I ¡ %
 
همواره داریم
c * * * c
 A = (A I E)U (A I E ) Þ m A £ + m (A I I E) m (A E )
بنابراین مجموعهي E اندازهپذیر است اگر و تنها اگر
* * * c
 m A ³ + m (A I I E) m (A E )
نتایج:
1- مجموعههاي ¡ و Æ لبگ اندازهپذیرند. زیرا:
* * c *
A 0
m (A I ¡) + = m (A I ¡ ) m A 14243 14243
 
پس ¡ اندازهپذیر است.
2- چون تعریف نسبت به E و
c
E متقارن است لذا اگر E اندازهپذیر باشد
c
E نیز اندازهپذیر است.
3- فرض کنیم M بهصورت زیر تعریف شده باشد. ثابت میکنیم که M یک s- جبري است.
 M = {E : E}
دو خاصیت اول بهوضوح ثابت میشوند، زیرا ÎM ¡ و اگر E ÎM ، آنگاه
c
E ÎM. کافی است خاصیت سوم را
اثبات نماییم.
E1 لم 70101 اگر
E2 و
E E 1 2 U اندازهپذیر است. اندازهپذیر باشند، آنگاه
برهان. فرض کنیم A یک مجموعهي دلخواه باشد، داریم: